AI的数学血脉｜莱布尼茨死于孤独，但他的dy/dx活在所有AI论文里
2026年。任何一个AI研究员，在他的代码里写下这行字：
loss.backward()然后PyTorch自动算出每一层、每一个参数的梯度。万亿个浮点数在GPU上沿着计算图向后流动。几百层的深度网络在几分钟内完成了从损失到所有权重的导数传播。
这一行代码的底层数学，是链式法则。链式法则的符号，是莱布尼茨发明的。
dy/dx。三百多年前一个德国哲学家在纸上写下的三个字母。今天它嵌在每一块A100和H100芯片的底层计算图中。
但是莱布尼茨活着的时候没有得到任何公正。
1716年11月14日，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在汉诺威去世。他的葬礼上，除了他的秘书，几乎没有别人。
（ps：想象一下这个画面。发明了现代世界最核心数学工具之一的人。孤独地死去。而他的对手——艾萨克·牛顿——十二年后以国葬礼遇葬入威斯敏斯特大教堂。在发明权上，牛顿赢了。在历史的长河里，莱布尼茨的符号统治了今天所有的AI。这可能是科学史上最残酷、也最讽刺的一个故事。）
一、1665-1666：瘟疫、苹果树、和23岁的牛顿
故事得从一座林肯郡的庄园说起。
1665年，伦敦爆发腺鼠疫。剑桥大学关门。23岁的艾萨克·牛顿打包书籍和笔记，回到了他童年的家——伍尔索普庄园。
接下来的18个月，被后世称为牛顿的”奇迹年”（annus mirabilis）。
他做了三件事：
- 发展了万有引力理论——那个著名的苹果故事就发生在这段时期（ps：苹果砸到头大概率是虚构的，但重力问题的思考确实在这段时间）
- 发现了白光由各色光组成——光学的基础
- 发明了流数术——也就是微积分
“流数”（fluxion）是牛顿的命名。在他的体系里，一切都是运动和变化。一个曲线不是静态的几何对象——它是由一个”流动的点”画出来的。x变化的速度是”x的流数”，记作ẋ。y变化的速度是ẏ。
对于力学来说，这个视角无比强大。因为物理学最关心的正是”变化的速度”——速度、加速度、力的作用。
但牛顿没有发表。
他把这些东西写在笔记本上。给他的老师艾萨克·巴罗看了。巴罗传给了一些伦敦的数学家朋友。但这些文本——1669年的《论分析》（De analysi）、1671年的《流数法》（Method of Fluxions）——全部躺在抽屉里。几十年没有出版。
为什么？学者们提出了各种解释。牛顿的性格——极度的不安全感、害怕批评、对公开争论的厌恶——可能是最重要的原因。1660年代胡克对他的光学论文的批评，让他深受创伤。从那以后，他再也不急于向世界展示他的发现。
（ps：这与格拉斯曼截然不同。格拉斯曼拼命想让人看他的书，没人看。牛顿藏着掖着，他的东西却在英国的数学圈子里成了传说。有熟人能看到，外人看不到。这为后来的剽窃指控埋下了致命的伏笔。）
二、1672-1676：莱布尼茨，独立攀登同一座山
同一时期。英吉利海峡对岸。
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨比牛顿小三岁。26岁。职业是外交官，工作之余搞哲学和数学。他是那种到什么地方都能发光的人——法学家、历史学家、语言学先驱、二进制算术的发明者、最早的计算机概念提出者之一。
1672年，莱布尼茨被派到巴黎执行外交任务。他在那里待了四年。白天处理公务。晚上——他自己说的——“在数学中重新发明了一切”。
莱布尼茨没有读过牛顿未发表的手稿。他从不同的起点出发。
牛顿从力学出发：流数是”运动的变化率”。
莱布尼茨从几何出发：微分是”无穷小的差”（differentia）。积分是”无穷小差的和”（summa）。
两个人在两个不同的思想框架里，各自独立地发现了同一件事：微分和积分互为逆运算——这就是微积分基本定理。
1675年10月29日——莱布尼茨的手稿历史上第一次出现了这个符号：
∫
它是一个拉长的拉丁字母S。“Summa”（和）的首字母。曲线下的面积=无穷多个无穷小矩形的和。
几周后，11月11日，他写下了：
dy/dx
d和x之间的分割线不是分数。它是”差”（differentia）的极限。但这个符号长得像一个分数——这不是巧合。链式法则 dy/dx = dy/du · du/dx 在这种符号下就是”自然约分”的结果。微积分教科书里最经典的”把du消掉”的操作，只有莱布尼茨的符号能做。
（ps：莱布尼茨为这些符号花了无数时间。他试过ω、l、y/d……反复试验、调整、给朋友写信征求意见。一个符号，他可以推敲好几天。这种对”记号”的痴迷，在当时可能被看作书呆子气。但三百年后的今天，当你在PyTorch里调用.backward()时底层自动微分系统在遍历的计算图——每一个节点上的操作——都是在使用莱布尼茨发明的符号体系。一种好的记号，比一个天才的大脑更有持久的影响力。）
1684年，莱布尼茨在《教师学报》（Acta Eruditorum）上发表了第一篇微分学论文：《一种求极大极小和切线的新方法》。
两年后，1686年，又发表了积分学的论文。
莱布尼茨是第一个发表微积分的人。
三、那两封致命的信
但在此之前，发生了两件事——后来的争议全围绕着它们。
1673年。莱布尼茨因外交出访伦敦。他见到了亨利·奥尔登堡——皇家学会的秘书。两人开始了通信。
1676年。牛顿通过奥尔登堡给莱布尼茨写了两封信。
第一封信（1676年6月）：牛顿描述了他的二项式定理和无穷级数法。信里没有微积分的具体方法，但展示了他的强大工具。
第二封信（1676年10月24日）——后来成了整个争议的核心。牛顿在信中写了一段话，关于求切线的方法。然后——他把它加密了。写成了一串密码样的拉丁字母。
牛顿后来声称：他在信中透露了足够的线索，任何人——尤其是莱布尼茨这样聪明的人——都可以从中推断出微积分的核心思想。
莱布尼茨后来回复：他从牛顿的级数法中获得了灵感，但他的微积分是完全独立的发明。
（ps：这个争议的微妙之处在于——两个人可能都是部分对的。莱布尼茨确实可能从牛顿的信中看到了”方向”——知道有这样一种方法、知道它能做什么——但他自己的微分学体系，无论是概念来源还是符号设计，都源自一条与牛顿完全不同的路径。问题不在于谁”偷”了谁的想法。问题在于：牛顿和他的追随者把”阅读了信”等同于”剽窃了方法”。这中间的跳跃，是政治，不是数学。）
1684年莱布尼茨发表了他的微积分。牛顿仍然没有发表一个字。
1696年，法国数学家洛必达出版了第一本微积分教科书——基于莱布尼茨的方法。他在书中写道：“牛顿的《原理》几乎全部是关于这种微积分的。”
这句话是赞美的。但在当时的英国语境里，读起来像是”莱布尼茨的方法包纳了牛顿”。
火药味开始浓了。
四、1712：皇家学会的自导自演
1699年，瑞士数学家法蒂奥·德·迪利耶首次公开指控莱布尼茨剽窃。
1704年，牛顿在《光学》的附录中第一次公开发表了他的微积分方法。同时，一份针对《光学》的匿名评论出现在《教师学报》上，暗示牛顿的流数术是借用自莱布尼茨的微分法。
这份评论是谁写的？——莱布尼茨。
（ps：公平地说，莱布尼茨这个操作也不体面。一个被指控剽窃的人，反过来暗示原创者抄了他。双方的修养都不是圣人级别的。但接下来发生的事，彻底打破了道德底线。）
1708年，约翰·凯尔——牛顿在牛津的弟子——在皇家学会《哲学汇刊》上发表了一封公开信。信中的指控毫不含糊：莱布尼茨的微积分就是牛顿的流数术，“只是改了名字和符号”。
莱布尼茨怒了。
1711年，他正式致信皇家学会秘书斯隆，要求凯尔公开道歉。
这封信落在了此时已是皇家学会会长的牛顿手中。
牛顿做了几件事：
- 他告诉学会：凯尔说的话”没什么不对”。
- 他提议成立一个委员会来调查此事。
- 委员会于1712年3月6日成立。成员——全都是牛顿的英国朋友和支持者。
- 委员会从未通知莱布尼茨——没有请他出席、没有请他提交证据、甚至没有告诉他正在被调查。
- 只用了50天——4月24日——报告草稿就完成了。
- 报告的主要作者——是牛顿本人。
1713年1月，《通信录》（Commercium Epistolicum）正式出版。皇家学会免费分发。
报告结论：牛顿是”第一发明人”，莱布尼茨的微分法与流数术”除了名字和符号之外完全相同”。言下之意：莱布尼茨从牛顿的信件中获得信息后改了个名字发表了。
莱布尼茨直到1714年秋天才看到这份报告。
他被审判。但没有被通知。没有机会为自己辩护。没有上诉渠道。
那个调查委员会，是牛顿自己的俱乐部。那个报告，是牛顿自己写的。
（ps：世界上第一场”学术不端调查”就是这样的。原告是法官。法官写了判决书。判决书免费发放。被告不知道开庭时间。1812年的那些英国绅士，用最体面的仪式，做了一件最不体面的事。）
五、胜利的代价
但牛顿赢了什么？
他赢得了一场争论。然后——输掉了一个世纪。
英国数学界做出了一个灾难性的决定：出于民族荣誉，他们坚持使用牛顿的记号体系。
牛顿的记号是这样的：
- 导数：ẋ（x上面加一个点）或 ÿ（两个点）
- 二阶导数：在变量上面加两个点
- 积分：x̄（在变量上面画一道横线），或者把变量框在一个矩形里
（ps：公平地说，牛顿的记号并非没有优点。对于时间导数——物理中最常见的操作——ẋ比dx/dt简洁得多。这也是为什么直到今天，物理学家仍然在使用牛顿的点记号——ẋ表示速度，ẍ表示加速度。但对于多元函数、链式法则、变量替换、分部积分——莱布尼茨的符号具有碾压性的优势。）
莱布尼茨的dy/dx：
- 直观：dy除以dx——“无穷小的y变化”除以”无穷小的x变化”
- 能够做量纲分析：如果y是米，x是秒，dy/dx就是米/秒
- 链式法则一目了然：dy/dx = dy/du · du/dx——就像约分一样
- 变量替换很自然：∫ f(x)dx → x=g(t) → ∫ f(g(t))g’(t)dt
- 多元微积分无缝扩展：∂y/∂x, ∫∫ f(x,y)dxdy
欧拉、伯努利家族、拉格朗日、拉普拉斯、高斯、柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯——整个欧洲大陆的数学家全部采用莱布尼茨的符号。
而在英吉利海峡这一边——
英国数学家闭关锁国。不用莱布尼茨的符号。不用欧陆的方法。翻译不进来，自己的成果也出不去。
从1700年到1830年——整整130年——英国在纯数学上几乎颗粒无收。 而同一时期，欧陆数学经历了人类历史上最辉煌的黄金时代。从欧拉到高斯，从拉格朗日到柯西，现代分析学的全部框架都在大陆建造起来的——使用的，全部是莱布尼茨的符号。
1813年。一群剑桥的年轻数学家终于受不了了。他们成立了一个组织——“分析学社”（Analytical Society）。他们的口号是一个双关语：“反对’点时代’，拥护’纯的d-主义’“（against dot-age, for pure d-ism）。
他们把欧陆的微积分教材一本一本地翻译成英文。他们开始教学生莱布尼茨的dy/dx。但为时已晚。英国数学最该出成果的一百年，已经过去了。
（ps：这是一场因”民族自豪感”和”对记号的忠诚”而引发的灾难。英国不是没有数学家——它有很多。但所有人都被困在了一个错误的符号体系里。一个符号，改变了一个国家的科学命运。这不是夸张。这是史实。）
六、1716：莱布尼茨的最后日子
再回到莱布尼茨。
1713年——被皇家学会宣判”有罪”的同一年——莱布尼茨正在汉诺威为不伦瑞克公爵编纂一部家族史。这曾经是他引以为傲的工作。现在成了他的牢笼。
他写信给朋友。为自己辩护。但他没有人脉。牛顿是整个英国科学界的帝王，而莱布尼茨只是一个德国公爵手下的图书管理员。
1716年11月14日。莱布尼茨在汉诺威去世。享年70岁。
他的葬礼——几乎空无一人。
皇家学会没有发讣告。没有悼念。牛顿又多活了11年。1727年，他以国葬礼遇被葬在威斯敏斯特大教堂。整个伦敦为他送行。
莱布尼茨的墓碑上刻着一句话：“Ossa Leibnitii”——“莱布尼茨之骨”。就这样。
（ps：历史审判了这两个人。牛顿的伟大不需多言——他是物理学史上最伟大的天才，可能没有之一。莱布尼茨不是物理学家。他对力学的理解不如牛顿。但谁发明了”好的微积分”——更适合教学、更适合传播、更适合在几个世纪后被计算机自动执行的微积分？答案是莱布尼茨。不是牛顿不好。是牛顿的符号不好。当你把数学当作一种语言来设计——而不仅仅是当作一种工具来使用——你获得的是一种不同的力量。记号即命运。）
七、2026：当万亿参数在莱布尼茨的语法中下降
现在。让我们把时间拨到今天。
每一个AI模型——从GPT到Claude到Gemini到Llama——在训练时都在做同一件事：
用梯度下降来最小化损失函数。
损失函数L(θ)告诉你模型有多错。梯度∇L(θ)告诉你往哪个方向调整参数能让错误变小。梯度下降就是反复地小心地在这个方向上移动。
物理学家喜欢用∇L——这是哈密顿算子，把微分写成向量。
但任何一个AI工程师在他的白板或论文草稿里写的，一定是：
∂L/∂w₁, ∂L/∂w₂, ∂L/∂w₃, …
偏导数。对每一个参数的偏导数。
这需要调用链式法则。而链式法则的每一步——在前向传播的每一层、每一个操作中——都是：
dy/dx = dy/du · du/dx
莱布尼茨的符号。
（ps：如果你把AI模型中所有偏导数符号∂替换成牛顿的点点，你得到的将是一连串不可读的乱码。一个拥有1750亿参数的神经网络——如果你用牛顿的ẋ来记第i层的第j个参数——你会在写完公式之前就被逼疯。莱布尼茨的符号不是更”好看”，而是更”可操作”。在数学里，可操作性是比优美更重要的美德。）
再往下走一层。
PyTorch和TensorFlow的核心功能是自动微分（Automatic Differentiation）。当你调用.backward()时，系统在后台遍历计算图，在每一个节点上应用链式法则，并累积梯度。
这个过程中发生了什么？
- 你在做偏导数（莱布尼茨的∂）
- 你在做链式法则（莱布尼茨的dy/dx）
- 你在做数值优化（牛顿-拉夫森法）
- 最终使用的是AdamW优化器（动量 + 自适应学习率 + 解耦权重衰减）
本质上：你在用莱布尼茨的微积分在牛顿的梯度方向上下降。
Adam——2014年由Diederik Kingma和Jimmy Ba提出。AdamW——2017年由Ilya Loshchilov和Frank Hutter改进，把权重衰减从梯度更新中解耦出来。
这篇论文的标题里，你看不到莱布尼茨。甚至看不到微积分。但这些优化器能在万亿参数上运行的根本原因——是微积分可以被自动微分系统高效地执行。而自动微分的基础——是链式法则。
链式法则的符号——是莱布尼茨发明的。
八、有两个人的幽灵活在AI里
一个是凯莱。他的矩阵乘法活在H100的Tensor Core里。
一个是莱布尼茨。他的微分符号活在每一行.backward()的底层计算图中。
但莱布尼茨的故事比凯莱更令人悲叹。凯莱虽然等了20多年，至少在有生之年看到了矩阵被接受，娶妻生子，在剑桥过了幸福的晚年。
莱布尼茨死的时候是孤家寡人。他的敌人是整个英国科学界的帝王。他被审判。被定罪。在一场他无法参与的审判中。
然后他死了。葬礼无人问津。
但——
他的dy/dx没有被埋葬。
微分符号、积分符号、链式法则的书写方式、偏导数的记号——所有这些都源于1675年秋天莱布尼茨在巴黎的手稿。三百五十年后，地球上最复杂的计算系统、人类有史以来最强大的智能机器——它们最底层的数学语法，仍然是莱布尼茨的语法。不是牛顿的。
（ps：在数学史上，牛顿和莱布尼茨共享”微积分发明人”的称号。这是教科书上的公平对待。但如果你去看现实的物理痕迹——去看每一篇AI论文的公式、每一块芯片上流动的计算图、每一个自动微分系统遍历的计算节点——莱布尼茨的符号占有绝对的统治地位。 不是因为某个委员会的决定。不是因为政治上的胜利。只是因为：好的记号就是好的工具。三百年后，“好工具”打败了”赢了的官司”。）
这不是关于谁先发明了微积分的故事。
这是关于”形式本身就有力量”的故事。
莱布尼茨1716年在汉诺威孤独去世时，最后的牵挂可能不是他的数学。但三百一十年后的今天，当我们敲下 loss.backward() 的那一刻——我们读写的符号，是他的。 牛顿赢了官司。莱布尼茨赢了时间。
下一篇预告：《AI的数学血脉｜链式法则：微积分最优雅的嵌套》——莱布尼茨1675年的dy/dx，如何变成了2026年所有神经网络训练的那条”回传之路”？